Fanny Coupé commence à étudier l'alto au CNR de Nantes dans la classe de son père, Jean Coupé.
Après une année au CNR de Paris, elle entre au CNSM de Lyon dans la classe du maestro Adamopoulos où elle obtient le diplôme National d'Etudes Supérieures de Musique, avec mention. En 1994, elle suit les cours du cycle de perfectionnement du CNSM de Paris dans la classe de Bruno Pasquier ainsi que dans celle de Zoltan Toth, en musique de chambre. Elle prend conseil, lors de masterclasses, auprès de B. Giuranna, J. Levine, V. Mendelssohn et Hatto Beyerle. En 1995, elle rejoint l'Orchestre de l'Opéra de Paris.

Fanny Coupé se produit régulièrement en Allemagne (sonates et trio à cordes) et effectue en 1996, en soliste, une tournée de concerts avec l'Orchestre National de Bretagne. En 1997, elle est lauréate du Concours international d'Exécution musicale "Bucchi" à Rome. En 2000, Fanny Coupé rejoint l'Orchestre Philharmonique de Radio France en qualité de co-soliste.

Pendant dix ans, elle a fait partie du Quatuor Renoir avec lequel elle a enregistré les Quatuors de Schumann.